ALJABAR ELEMENTER

KONSEP KEMIRINGAN PADA GRAFIK GARIS LURUS

a.       Pengertian Kemiringan Grafik Garis Lurus

Setiap titik pada bidang koordinat Cartesius dinyatakan dengan pasangan berurutan x dan y, di mana x merupakan koordinat sumbu-x (disebut absis) dan y merupakan koordinat sumbu-y (disebut ordinat). Jadi, titik pada bidang koordinat Cartesius dapat dituliskan (x, y). Pada Gambar 3.2 , terlihat ada 6 buah titik koordinat pada bidang koordinat Cartesius. Dengan menggunakan aturan penulisan titik koordinat, keenam titik tersebut dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut.

Persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang jika digambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus. Cara menggambar persamaan garis lurus adalah dengan menentukan nilai x atau y secara acak. Perlu diingat bahwa dua titik sudah cukup untuk membuat garis lurus pada bidang koordinat Cartesius.

1.      Pengertian Gradien

ingkat kemiringan garis inilah yang disebut gradient

2.      Perhitungan Gradien

Ada berbagai cara untuk menghitung gradien dari suatu persamaan garis. Hal ini bergantung pada letak titik koordinat dan bentuk persamaan garis yang diberikan. Berikut ini akan diuraikan cara menghitung gradien berdasarkan titik koordinat atau bentuk persamaan garis. 
a. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, gradien suatu garis dapat ditentukan melalui perbandingan antara ordinat dan absis sehingga dapat ditulis sebagai berikut.

Dari uraian ini terlihat bahwa nilai gradien dalam suatu persamaan garis sama dengan besar nilai konstanta m yang terletak di depan variabel x, dengan syarat, persamaan garis tersebut diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk y = mx.

b. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx + c
       Sama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis y = mx, perhitungan gradien pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara menentukan nilai konstanta di depan variabel x.

c. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis ax + by + c = 0
 Sama seperti sebelumnya, gradien pada persamaan garis ax + by + c = 0 dapat ditentukan dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garis tersebut ke dalam bentuk y = mx + c. Kemudian, nilai gradien diperoleh dari nilai konstanta m di depan variabel x.

d. Menghitung Gradien pada Garis yang Melalui Dua Titik
Coba kamu perhatikan Gambar 3.5 berikut.

Gambar 3.5 menunjukkan tiga buah segitiga ABC, DEF, dan GHI yang memiliki sisi miring dengan tingkat kemiringan atau gradien yang berbedabeda. Dengan menggunakan perbandingan ordinat dan absis, gradien untuk masing-masing segitiga dapat dihitung sebagai berikut.

Sekarang, perhatikan Gambar 3.6 . Gambar tersebut menunjukkan sebuah garis lurus pada bidang koordinat yang melalui titik P dan R. Untuk mencari gradien garis tersebut, kamu tinggal menentukan gradien PR pada segitiga PQR. Dengan menggunakan perbandingan ordinat dan absis, akan diperoleh gradien garis yang melalui titik P dan R, yaitu:

Jadi, gradien garis yang melalui P(1, 3) dan R(7, 6) pada Gambar 3.6 adalah ¹/₂. Dari uraian tersebut diperoleh rumus umum untuk mencari gradien pada garis yang melalui dua titik, sebagai berikut.

b.      Cara Menentukan Kemiringan Grafik Garis Lurus

Ada beberapa kondisi yang perlu diperhatikan dalam menentukan persamaan garis lurus. Diantaranya kemiringan (gradien), titik yang dilalui garis tersebut serta kedudukannya dengan garis lain (sejajar atau saling tegak lurus). Berikut ini adalah beberapa cara yang dapat digunakan dalam menentukan persamaan garis lurus sesuai dengan ciri-ciri yang diketahui berhubungan dengan garis tersebut.

1.      Jika diketahui kemiringan (m) dan melalui satu titik (x1, y1)

Dalam menentukan persamaan garis lurus yang diketahui kemiringan atau gradiennya (m) serta satu titik (x1, y1) yang dilaluinya, kita dapat menggunakan formula berikut.

y - y1 = m(x – x1)

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, 3) dan bergradien 2

Jawab:

(1, 3) sehingga x1 = 1 dan y1 = 3

m = 2

y – y1 = m(x – x1)

y – 3 = 2(x – 1)

y – 3 = 2x – 2

y = 2x – 2 + 3

y = 2x + 1

2.      Jika diketahui melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2)

Sebuah garis, dapat dilukis apabila minimal diketahui dua buah titik yang dilaluinya. Sama seperti halnya dengan melukis garis lurus pada bidang cartesius, suatu persamaan garis lurus dapat ditentukan apabila diketahui dua buah titik yang dilaluinya (x1, y1) dan (x2, y2). Dalam menentukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik kita dapat menggunakan formula:

Menentukan Persamaan Garis Lurus

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(3, –2) dan titik B(–1, 3)

Jawab:

A(3, –2) maka x1 = 3 dan y1 = -2

B(-1, 3) maka x2 = -1 dan y2 = 3

Menentukan Persamaan Garis Lurus

3.      Jika diketahui melalui titik (x1, y1) dan sejajar dengan garis lain

Ciri dua buah garis atau lebih yang saling sejajar adalah mempunyai nilai kemiringan atau gradien yang sama. Dalam kasus dimana diketahui melalui satu titik (x1, y1) dan sejajar garis lain, kita dapat menentukan persamaan garisnya dengan menentukan gradien garis yang diketahui terlebihdahulu, kemudian kita dapat menentukan gradient garis yang sedang kita cari dimana

Syarat dua garis sejajar adalah

m1 = m2 atau m2 = m1

Dengan m1 adalah gradien garis yang sejajar dengan garis yang kita cari sedangkan m2 adalah gradien garis yang kita akan cari persamaanya. Sehingga, persamaan garis yang kita cari adalah persamaan garis lurus yang melalui titik (x1, y1) dan mempunyai kemiringan atau gradien (m2), yang dapat kita tentukan dengan formula

y - y1 = m2(x – x1)

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(–2, 3) dan sejajar garis

y = –x – 5

Jawab:

y = -x – 5 maka m1 = -1

Karena garis sejajar maka m2 = m1 = -1

A(-2, 3) maka x1 = -2 dan y1 = 3

y - y1 = m2(x – x1)

y – 3 = -1(x – (-2))

y – 3 = -x – 2

y = -x + 1

4.       Jika diketahui melalui titik (x1, y1) dan tegak lurus dengan garis lain

Sedangkan, apabila persamaan garis yang kita akan cari melalui suatu titik (x1, y1) dan tegak lurus dengan garis lain kita harus memahami bahwa syarat dua garis atau lebih saling tegak lurus adalah hasil perkalian gradienya adalah -1

m1 x m2 = -1 atau Menentukan Persamaan Garis Lurus

Dengan m1 adalah gradien garis yang sejajar dengan garis yang kita cari sedangkan m2 adalah gradien garis yang kita akan cari persamaanya. Sehingga, kita dapat menentukan persamaan garis tersebut dengan formula

y - y1 = m2(x – x1)

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, 4) dan tegak lurus dengan garis 2x – 5y = 6

Jawab:

2x – 5y = 6 maka m1 = 2/5

Karena garis tegak lurus maka

Menentukan Persamaan Garis Lurus

A(1, 4) maka x1 = 1 dan y1 = 4

y - y1 = m2(x – x1)

y – 4 = (5/2)(x – 1)

2(y – 4) = 5(x – 1)

2y – 4 = 5x – 5

2y = 5x -1

c.       Pemanfaatan Persamaan Garis di Kehidupan

1.      Programer

Untuk menjadi seorang progammer yang handal, mereka juga membutuhkan pelajaran dasar matematika tentang persamaan garis. bagi progammer, persamaan garis itu sangatlah penting. Contoh aplikasi yang membutuhkan persamaan garis untuk progammer adalah turbo pascal.

Turbo Pascal, salah satu aplikasi yang menerapkan sistem persamaaan garis

Contoh penerapannya di kehidupan sehari-hari:
      Kalian pasti pernah memasuki bank, RS, atau stasiun pemberhentian kendaraan bukan? Nah disana terdapat sebuah mesin pengambil antrian atau nomor pelanggan yang setiap kali ditekan tombol kendalinya maka akan keluar secarik kertas bertuliskan nomor antrian tersebut. Nah program yang digunakan untuk menjalankan mesin tersebut menggunakan persamaan garis dan bisa diprogram menggunakan turbo pascal.

Contoh dari mesin antrian.

2.      Game maker

Perlu kita ketahui bahwa game-game yang sering kita mainkan itu (terutama game-game berkelas  yang biasanya berkapasitas lebih dari 100 Mb) membutuhkan proses pembuatan yang cukup lama, kejelian yang tinggi, kreativitas yang oke, dan penerapan ilmu matematika "persamaan garis". Salah satu aplikasi pembuat game yang terkenal adalah GAME MAKER. Patut kita ketahui, persamaan garis disini dibutuhkan untuk penempatan letak karakter, penempatan obyek-obyek tertentu yang berada di game tersebut.

Penerapan persamaan garis didalam aplikasi game maker

Sims 2, salah satu game yang dibuat menggunakan aplikasi game maker,

 dengan penerapan persamaan garis